线性规划例题及解法

线性规划是一种数学优化方法，可以用来求解在特定约束条件下的最优解。它在工业、经济及其他领域中都有广泛的应用，可以有效地优化问题解决方案。本文将从理论与实践两个方面出发，介绍线性规划的定义、模型、常用算法及实例分析。

一、线性规划的定义

线性规划，简称LP（Linear Programming），是指在给定的线性约束条件下，通过对线性目标函数的极值计算，找到最优的变量取值。线性规划问题通常都可以表示成以下标准形式：

$$ \max_{x\in R^{n}}{cx}\ \ \ \ \ \mathrm{s.t.}\ A{x}\leq b,\ x\geq 0 $$

其中，$x$为$n$维实向量，$c$为$n$维常数向量，$A$为$m\times n$系数矩阵，$b$为$m$维常数向量，$x\geq 0$表示$x$的每个分量都为非负数。

二、线性规划模型

线性规划的模型通常可以分为以下三种：

1.标准形式

标准形式的线性规划是对原始问题进行变形而得到的，其目的是将问题转化成熟悉的形式，从而使其更易于解决。

2.松弛形式

当标准形式的线性规划问题不存在最优解或者无解时，通常采用将线性规划问题进行相应的松弛形式来进行求解。

3.对偶形式

对于标准形式的线性规划问题，我们可以通过一定的变换来得到对偶问题。对偶问题的目标函数是原问题的约束条件所组成的向量，即双线性规划问题。通过解决对偶问题，可以验证原问题的最优解，并且得出一系列重要的结论。

三、线性规划的常用算法

求解线性规划问题的算法有多种，常用的算法包括单纯形法、内点法、对偶算法、分支定界算法等。其中，单纯形法是一种迭代算法，可以在有限时间内得出一个数学模型的最优解。它是求解线性规划问题的最常用方法之一，而具体实现是通过选取变量再将其约束条件带入到目标函数中，来寻找问题的最优解。

四、线性规划的例题分析

下面通过一个实例来分析线性规划的应用：

一家鞋厂制造两种不同的鞋子，鞋A的每双售价100元，每双产生的利润为20元；鞋B的每双售价200元，每双产生的利润为30元。鞋厂每天可以加工制作200双鞋，生产A鞋每双需要2小时，生产B鞋每双需要3小时。每天一共有600小时的加工时间，如何分配生产A鞋和B鞋，才能使鞋厂获得最大的利润？

对于该问题，可以用线性规划方法进行求解，假设生产$A$鞋和$B$鞋的数量分别为$x_{1}$和$x_{2}$，则它们需要的总加工时间为$2x_{1}+3x_{2}$。同时，应满足$2x_{1}+3x_{2}\leq 600$和$x_{1}+x_{2}\leq 200$。目标函数为$20x_{1}+30x_{2}$，即最大化利润。整理成线性规划模型的标准形式，则为：

$$ \max_{x\in R^{2}}\{20x_{1}+30x_{2}\} $$

$$ \begin{aligned} \mathrm{s.t.}\ \mathrm{约束条件}\ \ \ \ \ 2x_{1}+3x_{2}&\leq 600 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{1}+x_{2}&\leq 200 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{1},x_{2}&\geq 0 \end{aligned} $$

解决该问题的单纯形法的具体实现过程如下：

1. 初始化，将问题转化为标准形式。

2. 找到最小的对偶变量，设置其为基本变量，初始化目标函数。

3. 将基变量和非基变量进行互换，计算新的目标函数和约束条件。

4. 如果所有相关系数都为非负，那么该解就是最优解。

5. 否则回到步骤3，并重复迭代过程，直到得到最优解。

在本问题中，求解的结果为，生产$A$鞋100双，生产$B$鞋100双，总利润为$5000$元。