动态规划求最长回文子序列

回文子序列是指一个字符串从左往右读与从右往左读得到的序列相同，而最长回文子序列则是指在一个字符串中，具有最长回文长度的子序列。针对这个问题，本文将从算法思路、实际应用和时间复杂度等多个角度进行分析。

一、算法思路

最长回文子序列问题可以使用动态规划来求解。定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示字符串s[i:j]中最长回文子序列的长度，那么显然要求的就是dp[0][n-1]，n表示字符串的长度。

那么接下来就是如何求解dp数组的值。对于一个字符串s[i:j]，如果s[i]与s[j]相等，显然dp[i][j]等于dp[i+1][j-1]再加上2，即增加了两个字符。如果s[i]与s[j]不相等，则考虑只取s[i+1:j]或s[i:j-1]中回文子序列的长度最大值。因此，可以得到dp的状态转移方程：

$$

dp[i][j]=\begin{cases}dp[i+1][j-1]+2 & s[i]=s[j] \\max(dp[i+1][j],dp[i][j-1]) & s[i]\neq s[j]\end{cases}

$$

二、实际应用

最长回文子序列问题在实际应用中也有很广泛的应用。例如，在版本控制系统中，如果两个版本之间有很多代码修改，那么在合并时就需要找到其中不重复的部分，这时最长回文子序列算法就可以使用，可以找到这部分代码的最长公共部分。还可以应用于DNA序列分析以及RNA二级结构预测等领域。

三、时间复杂度

最长回文子序列算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为字符串的长度。因为dp数组中每个dp[i][j]只和dp[i+1][j-1]、dp[i+1][j]、dp[i][j-1]这三个位置的值有关，因此只需要遍历一遍数组即可完成求解。