完全二叉树怎么构造

二叉树是数据结构中的一个重要概念，它是由n (n>=0) 个结点组成的有限集合。二叉树节点最多只有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。而完全二叉树又是一种比较特殊的二叉树，它除了最后一层节点不满外，每一层节点数量都是满的。那么，我们该如何构造完全二叉树呢？

一、完全二叉树的定义

在构造完全二叉树之前，我们先来了解一下完全二叉树的具体定义。

完全二叉树是一种特殊的二叉树，在完全二叉树中，除了最后一层的节点可以不满之外，其余各层都必须是满的，同时，最后一层的节点都靠左排列。如下图所示，就是一棵完全二叉树。


二、完全二叉树的构造方法

接下来，我们就来看一下完全二叉树的构造方法。

1. 从上到下、从左到右顺序存储法

完全二叉树可以使用数组进行存储，具体方法是按照从上到下、从左到右的顺序，将完全二叉树节点存储到数组中。例如，下面这棵完全二叉树的数组存储实现方式如下：


不难发现，节点 i 的左子节点的下标是 2i，右子节点的下标是 2i+1，而节点i的父节点的下标则是 i/2。

2. 先序遍历和中序遍历构造法

除了用数组存储的方式，我们还可以使用先序遍历和中序遍历构造法来构建完全二叉树。步骤如下：

（1）以先序遍历的第一个节点作为二叉树的根节点；

（2）在中序遍历序列中，找到根节点所处的位置，其左侧为左子树的中序遍历序列，右侧为右子树的中序遍历序列；

（3）根据左子树的中序遍历序列和先序遍历序列，递归构造左子树；

（4）根据右子树的中序遍历序列和先序遍历序列，递归构造右子树。

例如，下面这棵完全二叉树的先序遍历和中序遍历分别为 1 2 4 5 3 6 7 和 4 2 5 1 6 3 7，其构造过程如下图所示：


三、完全二叉树的应用场景

完全二叉树的构造方法在数据结构中有着广泛的应用，例如：

1. 堆排序：堆排序利用完全二叉树的特殊性质，可以将时间复杂度降低到 O(nlogn)。

2. 数组实现二叉堆：完全二叉树可以使用数组进行存储，可以节省树节点所需的空间，从而实现二叉堆。

3. 哈夫曼编码：哈夫曼编码可以使用二叉树进行实现，而完全二叉树又是一种适合进行哈夫曼编码的树结构。