平面向量例题解析

平面向量是向量的一种，它是指有大小和方向的量，在平面内表示为有向线段。平面向量有着广泛的应用，如计算物体的速度、力的大小及方向、建立空间直角坐标系等。在高中数学中，平面向量也是一个重要的概念，学生需要掌握相关的知识和解题方法。下面，我们就来看一些关于平面向量的例题解析。

【例题一】 已知向量 $\overrightarrow{a}=(3,-1)$，$\overrightarrow{b}=(-2,4)$，求 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 和 $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$。

解：

$$

\begin{aligned}

\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}&=(3,-1)+(-2,4)\\

&=(3-2,-1+4)\\

&=(1,3)

\end{aligned}

$$

$$

\begin{aligned}

\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}&=(3,-1)-(-2,4)\\

&=(3+2,-1-4)\\

&=(5,-5)

\end{aligned}

$$

从以上解法可以看出，向量的加、减法就是对应坐标的加、减法。

【例题二】 已知向量 $\overrightarrow{a}=(2,1)$，$\overrightarrow{b}=(k,3)$，且 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 方向相反，则 $k$ 的值为多少？

解：

因为 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 方向相反，所以 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，即 $(2+k,1+3)=(0,0)$。

由此可得 $k=-2$。

从以上解法可以看出，向量相减的结果是得到方向相反的向量。

【例题三】 已知 $\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(3,4)$，则 $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$ 的值为多少？

解：

$$

\begin{aligned}

|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|&=\sqrt{(1+3)^2+(2+4)^2}\\

&=\sqrt{4+16}\\

&=2\sqrt{5}

\end{aligned}

$$

从以上解法可以看出，向量的模长可以用勾股定理计算。

【例题四】 已知向量 $\overrightarrow{a}=(1,3)$，$\overrightarrow{b}=(2,k)$，且 $\overrightarrow{a}$ 垂直于 $\overrightarrow{b}$，则 $k$ 的值为多少？

解：

由于 $\overrightarrow{a}$ 垂直于 $\overrightarrow{b}$，所以 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$。

即 $1\times2+3\times k=0$，解得 $k=-\frac{2}{3}$。

从以上解法可以看出，向量的点积可以用来判断向量是否垂直。

综上所述，通过以上例题解析，我们可以发现，在解决平面向量的问题时，需要掌握向量的加减法运算，了解向量的模长的概念和计算方法，熟悉向量的点积的计算方法和判断向量是否垂直的方法。掌握这些基本的知识和解题方法，将有助于我们更好地理解和应用平面向量。